Wie weit ist es bis zum Horizont?

Im dänischen Skærbæk steht ein Aussichtsturm, von dem man in 36 m Höhe über die dänische Marschlandschaft schauen kann.

1. Wie weit kann man von dort aus bei klarer Sicht schauen?
2. Kann man von dort aus die Hafenanlagen im 38 km entfernten Esbjerg sehen?

Lösungsweg

Kann man vom „Marsk Tower“ in Skærbæk bis ins 38 km entfernte Esbjerg schauen? Es ist eine klassische Pythagoras-Aufgabe, wie weit man aufs Meer hinaus schauen kann, wenn man am Strand steht. Für einen erwachsenen Menschen lautet die Antwort: etwa 5 km. Diese Aussicht kann man natürlich vergrößern, indem man z.B. auf einen Aussichtsturm klettert.

An diese Problemstellung erinnerte ich mich, als ich erfuhr, dass nahe der dänischen Ortschaft Skærbæk kurz vor dem Rømø-Damm ein Aussichtsturm eröffnet wurde, von dem aus man aus einer Höhe von 36 m über die dänische Marsch-Landschaft schauen kann. Denn im 38 km entfernten Esbjerg gibt es ein Kraftwerk, dessen 250 m hohen Kamin man schon von weitem sehen kann, wenn man z.B. auf die Insel Fanø in den Urlaub fahren will. Es ist bei uns ein beliebtes Spiel, wer bei der Anreise als erster den Schornstein sieht. Also kam mir sofort folgende Fragestellung in den Sinn:

Kann man vom 36 m hohen Marsk Tower in Skærbæk den 250 m hohen Kamin des Kraftwerks Esbjerg sehen?

Die Lösung der Horizont-Aufgabe

Diese Aufgabe wollen wir jetzt rechnen. Und am Ende erfolgt natürlich die praktische Auflösung, denn selbstverständlich bin ich auch dort gewesen, um mir die Sache mit eigenen Augen anzuschauen.

Wir lassen den hohen Kamin erstmal beiseite und lösen zunächst die allgemeine Fragestellung: Wie weit kann ein Augenpaar schauen, das sich in der Höhe h (gemessen in km) über dem Meeresspiegel befindet?

Die Sichtweite ist begrenzt, weil die Erde eine Kugel ist. Deshalb müssen wir die Erde als Kugel mit in die Aufgabe einbeziehen. Die Blickrichtung stellt eine Tangente an die Erdoberfläche dar. Und wie wir wissen, bildet eine Tangente an einen Kreis im Berührpunkt einen rechten Winkel mit dem Radius. Das sieht dann so aus:

• $h$ ist die Höhe des Betrachters über dem Meeresspiegel in km. Der Turm ist 36 m hoch, wir geben noch 1,70 m Augenhöhe hinzu, also ist $h=0,0377\text{ km}$.
• $r$ ist der Radius der Erde, wir rechnen mit $r=6378\text{ km}$.
• $x$ ist die gesuchte Sichtweite.

Das Dreieck MCB ist rechtwinklig mit den Katheten MC und CB. Also können wir den Satz von Pythagoras notieren:

$$r^2+x^2=(r+h)^2$$

Diese Gleichung stellen wir nach $x^2$ um und vereinfachen sie, indem wir die Klammer auflösen:

$$x^2=(r+h)^2-r^2=r^2+2rh+h^2-r^2=2rh+h^2$$

Nach Wurzelziehen und Einsetzen erhalten wir:

$$x=\sqrt{2rh+h^2}=\sqrt{2\cdot 6378\cdot 0,025+0,0377^2}=21,9$$

Nach dieser Rechnung können wir von dem Turm aus knapp 22 km weit gucken. Etwas, das sich in dieser Entfernung am Boden befindet, könnte man also vielleicht gerade noch sehen. Doch was ist mit dem 250 m hohen Esbjerg-Turm, wie ich ihn immer nenne? Den kann man doch sicher aus größerer Entfernung sehen.

Ein Gedankenexperiment

Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Vom Marsk Tower (36 m hoch) kann man etwa 21 km weit sehen. Wenn ich den Weg der Lichtstrahlen vom Auge über den Berührpunkt am Horizont weiter verfolge, könnte ich in 42 km Entfernung die Spitze eines imaginären „Marsk Tower 2“ sehen, der ebenfalls 36 m hoch ist. Der Esbjerg-Turm ist nur 38 km entfernt, aber 250 m hoch. Hört sich so an, als ob man ihn locker sehen könnte, oder?

Wie hoch muss ein Turm in Esbjerg sein, damit man ihn vom Marsk Tower sieht?

Wir wollen es noch ein bißchen genauer wissen und fragen:

Wie hoch muss denn ein Turm in Esbjerg mindestens sein, damit man ihn vom Marsk Tower aus sehen kann?

Auch diese Frage kann uns Pythagoras beantworten, indem wir die Tangente als Blickrichtung weiter zeichnen bis zu einem Turm in Esbjerg, dessen Höhe wir berechnen wollen. Es ist gewissermaßen die Umkehraufgabe: Die Sichtweite von der Turmspitze $D$ ist gegeben, und gesucht ist die Turmhöhe $k$:

Der Turm in Esbjerg hat die unbekannte Höhe k. Wir wenden im neuen Dreieck den Satz des Pythagoras an:

$$r^2+y^2=(r+k)^2$$

Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten:

$$\sqrt{r^2+y^2}=r+k$$

Nun müssen wir nur noch $r$ auf die andere Seite bringen und erhalten:

$$k = \sqrt{r^2+y^2}-r = \sqrt{6378^2+16,1^2}-6378 = 0,02$$

Das beutet: Schon einen Turm von 20 m Höhe in Esbjerg sollte man vom Marsk Tower wohl sehen können.

Eine kleine Schummelei mit der Bogenlänge

Vielleicht hast du es gemerkt: Der Abstand von 38 km zwischen Marsk Tower und Esbjerg ist eigentlich die Bogenlänge auf der Erdkugel, und wir haben immer mit der Tangente, also einer Gerade gerechnet. Wir gehen davon aus, dass das auf die kurze Entfernung keinen relevanten Unterschied macht, verglichen mit der Größe der Erdkugel. Das wollen wir zum Abschluss nachrechnen und rechnen aus der Länge der Tangente von 38 km die Bogenlänge auf der Erdkugel aus:

Im ersten Schritt rechnen wir den Mittelpunktswinkel $\alpha$ aus. Diesen können wir dann leicht auf die Länge des Kreisbogens umrechnen.

Im Dreieck MDB sind alle drei Seitenlängen gegeben, aber kein Winkel. Das ist ein Fall für den Kosinussatz. Dieser lautet mit den Bezeichnungen aus der Skizze:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$

Diese Formel können wir nach $\cos\alpha$ umstellen:

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Einsetzen aller Werte in diese Formel liefert $\cos\alpha=0,341366$ und daraus $\alpha=0,341366^\circ$.

Damit können wir leicht die Bogenlänge des Kreisbogens ausrechnen. Ich nenne sie $l$, weil ich den Buchstaben $b$ oben schon verbraucht habe. Und nein, ich kann die Formel zur Berechnung der Bogenlänge nicht auswendig. Aber ich weiß, dass ein Kreisbogen ein Teil des Kreisumfangs ist. Und die Umfangsformel sollte doch jeder auswendig wissen: $u=2\pi r$. Und mit dem Dreisatz und dem Faktor $\frac\alpha{360^\circ}$ können wir den Umfang proportional auf die Bogenlänge umrechnen. Ich will damit nur sagen, dass man nicht alle Formeln auswendig wissen muss, wenn man sie inhaltlich verstanden hat.

Aber zurück zur Aufgabe: Die Bogenlänge $l$ ist nun:

$$l=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}=37,99987\text{ km}$$

Wie man sieht, muss ich sehr viele Nachkommastellen angeben, um überhaupt eine Abweichung von den angesetzten 38 km festzustellen. Also haben wir eine absolut vernachlässigbare Abweichung von wenigen Zentimetern, die unsere Fragestellung nicht im geringsten beeinflusst.

Die praktische Auflösung

Im September 2021 haben wir dann im Rahmen eines Tagesausflugs nach Rømø den Turm besucht. Er besteht aus zwei Treppen, die wie eine DNA als Doppelhelix angeordnet sind, so dass man sich beim Hoch- und Runtergehen nicht begegnet. Und hier kommt das Foto, das alle Rechnungen überflüssig macht und die Fragestellung beantwortet:

Dieses Bild ist ein vergößerter Ausschnitt des ersten Bildes von oben. Ganz deutlich sieht man im Hintergrund das Kraftwerk Esbjerg mit dem hohen Kamin, und man mag nicht glauben, dass es tatsächlich 38 km entfernt ist. Vielleicht tragen ja auch Lichtbrechungen in der Erdatmosphäre dazu bei, denn man sieht ja schon eine ganze Menge von den Hafenanlagen.