Für das Arbeiten mit den Funktionen Sinus und Cosinus ist es hilfreich, wenn du aus dem Kopf eine Freihandskizze dieser Funktionen erstellen kannst. An dieser kannst du die wichtigsten Punkte wie Extrempunkte und Nullstellen ablesen. Wie das geht, wollen wir hier besprechen.
Wir beginnen mit der Funktion $\sin(x)$ und zeichnen zuerst die Nullstellen, die bei 0, $\pi$ und $2\pi$ liegen:
In der Mitte zwischen den Nullstellen hat sie ihre Extremstellen, das ist bei $\frac\pi 2$ und bei $\frac 32\pi$:
Mit dieser Skizze haben wir nun die folgenden wichtigen Punkte der Sinusfunktion ermittelt:
| $x$ | 0 | $\frac\pi 2$ | $\pi$ | $\frac 32\pi$ | $2\pi$ |
| $\sin(x)$ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| Art des Punktes | Nullstelle | Maximum | Nullstelle | Minimum | Nullstelle |
…und die Cosinusfunktion
Die Funktion $\cos(x)$ „beginnt“ auf der Höhe 1 und läuft in gleicher Weise wie die Sinusfunktion, so dass sich dieses Bild ergibt:
Dies sind also die wichtigsten Punkte der Cosinusfunktion:
| $x$ | 0 | $\frac\pi 2$ | $\pi$ | $\frac 32\pi$ | $2\pi$ |
| $\cos(x)$ | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| Art des Punktes | Maximum | Nullstelle | Minimum | Nullstelle | Maximum |
Wie schon gesagt, das können wir uns alles auswendig überlegen, wenn wir uns nur merken, dass der Sinus bei 0 und der Cosinus bei 1 „beginnt“.
Die Periodenlänge T
Die Funktionen beginnen dort natürlich nicht, denn man kann ja zu jeder reellen Zahl $x$ einen Sinus- oder Cosinuswert berechnen. Aber alle Eigenschaften diese Funktionen können wir bereits im Intervall $[0;2\pi]$ beobachten, und sie wiederholen sich dann immer wieder. Wir sagen: Die Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge $T=2\pi$.
Mathematisch können wir das so beschreiben: Für alle reellen Zahlen $x$ gilt $\sin(x)=\sin(x+2\pi)$.
Alle Nullstellen der Sinus-Funktion beschreiben
Da die Funktion Sinus periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen und Extremstellen. Trotzdem können wir sie alles auflisten, wie wir nun zeigen:
- Wir haben schon die Nullstellen im Intervall $[0;2\pi)$ notiert, das sind 0 und $\pi$.
- Wenn wir zu 0 Vielfache von $2\pi$ addieren, erhalten wir weitere Nullstellen: $2\pi, 4\pi, 6\pi,…,-2\pi,-4\pi,-6\pi…$.
- Ebenso, wenn wir zu $\pi$ Vielfache von $2\pi$ addieren: $3\pi, 5\pi, 7\pi,…,-3\pi,-5\pi,-7\pi…$.
- Insgesamt ergibt das alle ganzzahligen Vielfachen von $\pi$.
Etwas formaler können wir die Menge aller Nullstellen damit folgendermaßen beschreiben:
$$\{0+k\cdot 2\pi\ |\ k\in Z\}\cup\{\pi+k\cdot 2\pi\ |\ k\in Z\}$$
Diese beiden Mengen zusammengefasst ergeben alle ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:
$$\{ k\cdot\pi\ |\ k\in Z\}$$
Alle Extremstellen der Sinusfunktion
Die Periodenlänge verändern – Stauchen und Strecken in x-Richtung
Nun wollen wir schauen, wie man die Sinusfunktion verändern kann, und wir beginnen mit der Periodenlänge. Als Beispiel stellen wir uns die Frage: Welche Periodenlänge hat die Funktion $g(x)=\sin(3x)$?
Die Idee zur Beantwortung der Frage ist: Für welchen Wert $x$ ergibt der Klammerterm $3x$ den Wert $2\pi$? Dieser Wert ist die Periodenlänge, denn dann ist die Funktion einmal „durchgelaufen“. Es gilt also für die Periodenlänge $T$:
$$3\cdot T=2\pi$$
Und daraus folgt für die Periodenlänge der Funktion $g(x)=\sin(3x)$:
$$T=\frac{2\pi}3$$
Diese Formel gilt natürlich auch für andere Werte als 3, also halten wir als Resultat fest:
Für alle reellen Zahlen $b$ hat die Funktion $f(x)=\sin(b\cdot x)$ die Periodenlänge $T=\frac{2\pi}b$.
Die Funktion sin(bx) zeichnen
Wie wir gesehen haben, hat die Funktion $g(x)=\sin(3x)$ die Periodenlänge $T=\frac 23\pi$. Im Intervall $[0;\frac 23\pi]$ wollen wir sie nun zeichnen. Dazu markieren wir zuerst die Nullstellen $0$, $\frac 13$ und $\frac 23$ und skizzieren den Graphen. Danach können wir noch die Extremstellen einzeichnen. Sie liegen zwischen den Nullstellen bei $\frac 16\pi$ und $\frac 12\pi$.
Das Bild zeigt, dass die Funktion $´\sin(3x)$ dreimal so schnell läuft wie die Originalfunktion $\sin(x)$. Das schafft sie, indem ihre Periode nur ein Drittel der Ausgangsfunktion beträgt. Wir sagen, die Funktion ist gestaucht.
Allgemein halten wir fest: Die Funktion $h(x)=\sin(b\cdot x)$ hat die Periodenlänge
$$T=\frac{2\pi}b$$
Übungsaufgabe: Wie kann man die Sinusfunktion in $x$-Richtung strecken, so dass die Periodenlänge größer als $2\pi$ wird?