Bei meiner Arbeitsstelle, einer Polsterbetten-Manufaktur, werden mit Stoff oder Kunstleder bezogene Boxspringbetten hergestellt. Die dafür benötigten Stoffe werden auf Rollen geliefert, die meistens etwa 1,40 m breit sind. Die Länge des aufgerollten Stoffs liegt meist zwischen 30 und 50 Metern. Die benötigten Mengen werden dann von der Rolle heruntergeschnitten.
Neulich hatten wir einen Kundenauftrag zu bedienen und fanden im Lager eine angebrochene Rolle des benötigten Stoffes. Leider lag kein Zettel dabei, wie viel Stoff noch auf der Rolle war. Für den Auftrag benötigten wir 20 m Stoff, und es war nicht offensichtlich erkennbar, ob es mehr als 20 Meter sind. Wir wollten aber auch nicht alles abrollen. Aber können wir das vielleicht berechnen, so ungefähr jedenfalls?
Welche Daten brauchen wir dafür?
- Sicherlich brauchen wir den Radius $r_a$ der Stoffrolle.
- Der Stoff ist auf einer Papprolle aufgerollt, auch deren Radius $r_i$ ist wichtig.
- Auch die Dicke des Stoffs spielt eine Rolle, aber die lässt sich schwierig ermitteln. Deshalb nehmen wir lieber die Anzahl der Wicklungen des Stoffs, die wir $n$ nennen.
Jede Wicklung hat einen anderen Radius. Statt mit lauter verschiedenen Radien zu arbeiten, ist die Idee, als Radius den Mittelwert
$$r=\frac{r_a-r_i}2$$
zwischen kleinstem und größtem Radius zu nehmen. Dann haben wir $n$ gleich große Kreise mit diesem Radius. Der Gesamtumfang aller Kreise ist unsere Näherung für die Stofflänge und ergibt:
$$l=n\cdot 2\pi r=n\cdot 2\pi\cdot\frac{r_a-r_i}2=n\cdot\pi\cdot(r_a-r_i)$$
In unserem Beispiel zählen wir $n=64$ Wicklungen auf einer Rolle mit Außenradius $r_a=14,6\text{ cm}$ und Innenradius $r_i=3\text{ cm}$. Damit erhalten wir:
$$l=64\cdot\pi\cdot 0,116\text{ m}=23,3\text m$$