Rein quadratische Gleichungen lösen

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Wenn in einer Gleichung die Variable $x$ nur als quadratischer Term $x^2$ vorkommt, lösen wir die ggfs. die Gleichung nach $x^2$ auf und ziehen dann die Wurzel.

Aufgabe 1

$x^2=9$

Lösung

Gesucht ist eine Zahl $x$, deren Quadrat 9 ergibt. $\sqrt 9$ ist eine Zahl, deren Quadrat 9 ergibt. Also ist $\sqrt 9=3$ eine Lösung der Gleichung. Aber es ist auch $(-3)^2=9$, also ist auch -3 eine Lösung der Gleichung. Wir können die Gleichung also wie folgt lösen:

$$\begin{array}{rl}&x^2=9\\
\Longleftrightarrow&x=3\text{ oder }x=-3\end{array}$$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $L=\{3;-3\}$.

Aufgabe 2

$3x^2=-6$

Lösung

$-5x^2=0$

$(x-3)^2=25$

$3(x+2)^2-6=21$

$-\frac 23(x-5)^2+7=3$