Gleichungen lösen mit der pq-Formel

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen mit HIlfe der pq-Formel:

$x^2-4x-12=0$
$x^2-14x+33$
$x^2-5x+6=0$
$x^2-3x+2=0$

Lösungen

Wir starten direkt mit der ersten Gleichung:

$x^2-4x-12=0$

Sie heißt eine quadratische Gleichung, weil die Variable $x$ als quadratischer Term $x^2$ vorkommt. Wichtig für die pq-Formel ist: Vor dem Term $x^2$ steht kein Faktor, wie zum Beispiel bei $3x^2$ . Wie man damit umgeht, zeigen wir in einer späteren Aufgabe.

$p$ und $q$ ablesen

Der zweite Summand enthält die Variable $x$ ohne Quadrat und davor einen Faktor. Das ist der lineare Term. Dieser Faktor (oder auch Koeffizient) ist -4, und wir nennen ihn $p$ . Es ist also $p=-4$ . Denke daran, dass das Vorzeichen vor der 4 zu $p$ dazu gehört.

Als drittes gibt es noch einen Term, in dem kein $x$ vorkommt. Wir nennen ihn das Absolutglied $q$ . Hier ist $q=-12$ . Auch hier zählt das Vorzeichen zu $q$ dazu.

Die pq-Formel

Mit den abgelesenen Werten $p=-4$ und $q=12$ können wir die Lösungen der Gleichung bestimmen. Die pq-Formel sagt nämlich: Wenn die Gleichung zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$ hat, dann werden sie wie folgt berechnet:

$x_{1}=-\frac p2+\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

$x_{2}=-\frac p2-\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

Vor der Wurzel steht einmal + und einmal -, ansonsten sehen die Terme gleich aus. Deshalb zieht man die Schreibweisen meistens zusammen zu einer Formel, die beide Lösungen $x_1$ und $x_2$ beschreibt:

$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

Die Gleichung lösen

Wir rechnen los und setzen $p=-4$ und $q=-12$ in die Formel ein:

$x_{1,2}=-\frac {-4}2\pm\sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-(-12)}$

Das sieht ziemlich abenteuerlich aus und flößt Respekt vor der großen pq-Formel ein. Das ist aber gar nicht nötig, wenn man ein paar kleine Dinge vor dem Hinschreiben im Kopf erledigt:

Wenn $p=-4$ ist, dann ist $-\frac p2=2$ . Zahl halbieren und Vorzeichen umdrehen.
In der Wurzel ist $(\frac p2)^2=2^2=4$ . Vorzeichen brauchen hier nicht berücksichtigt zu werden, da dieser Teil durch das Quadrieren immer positiv wird.
Das doppelte Minuszeichen bei $-(-12)$ ziehen wir gleich zusammen zu $+12$ .

Und wenn wir dann noch sagen, dass wir zunächst nur die erste Lösung $x_1$ ausrechnen, dann wird die Rechnung sehr übersichtlich:

$x_1=2+\sqrt{4+12}=2+\sqrt{16}=2+4=6$

Für die zweite Lösung $x_2$ müssen wir nur im letzten Schritt das Rechenzeichen ändern und erhalten

$x_2=2-4=-2$

Fertig! Die quadratische Gleichung $x_2-4x-12$ hat die beiden Lösungen $x_1=6$ und $x_2=-2$ . Wer mag, kann das als Lösungsmenge formulieren:

$L=\{6;-2\}$

Die p-q-Formel

Wir starten direkt und erinnern uns zunächst an die wohlbekannte Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung. Eine quadratische Gleichung in Normalform sieht folgendermaßen aus:

$x^2+px+q=0$

Wenn diese Gleichung zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$ hat, können sie mit dieser Formel berechnet werden:

$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

Das wollen wir nun an einer Reihe von Aufgaben vorrechnen. Es beginnt mit ganz einfachen Gleichungen, wo alle Zahlen ganzzahlig sind. Dann kommen auch Aufgaben, die keine oder nur eine Lösung haben. Schließlich zeigen wir, wie man erfolgreich mit Brüchen in der Rechnung oder der Aufgabenstellung umgeht.

Aufgabe 1

Gleichung

$x^2-4x-12=0$

Es ist $p=-4$ und $q=-12$ .

Rechnung in Kurzform

$x_1=2+\sqrt{4+12}=2+4=6$
$x_2=2-4=-2$

Erklärung

Wir rechnen zuerst $-\frac p2=-(-\frac 42)=2$ und sehen hier schon, dass man kleine Rechnungen wie Vorzeichenwechsel und Halbieren am besten gleich im Kopf ausrechnet, um die Rechnung übersichtlich zu gestalten.
In der Wurzel kommt der Term $\frac p2$ wieder vor, diesmal ohne Minuszeichen, aber dafür als Quadrat, das eh immer positiv wird. Also rechnen wir einfach $\left(\frac p2\right)^2=2^2=4$ .
$\left(\frac p2\right)^2-q$ ist also einfach $4-(-12)=4+12=16. Die Minuszeichen ziehen wir auch gleich im Kopf zu + zusammen.</li>   <li>Wenn wir$ x_1 $zu$ 2+4 $ausgerechnet haben, ist$ x_2 $einfach$ 2-4=-2 $. Fertig!</li> </ul>   <h2>Aufgabe 2</h2>   <h3>Gleichung</h3>  $ x^2-14x+33 $  Es ist$ p=-14 $und$ q=33 $.   <h3>Rechnung in Kurzform</h3>   <ul> <li>$ x_1=7+\sqrt{49-33}=7+\sqrt{16}=7+4=11 $</li>   <li>$ x_2=7-4=3 $</li> </ul>   <h3>Erklärung</h3>   Es ist$ -\frac p2=7 $, also$ \left(\frac p2\right)^2=49 $.   <h2>Aufgabe 3</h2>   Wenn$ p $ungerade ist, wird$ \frac p2 $ein Bruch. Wie man damit rechnet, zeigen wir hier.   <h3>Gleichung</h3>  $ x^2-5x+6=0 $  Es ist$ p=-5 $und$ q=6 $.   <h3>Rechnung</h3>   <ul> <li>$ x_1=\frac 52+\sqrt{\frac{25}4-\frac{24}4}=\frac 52+\frac 12=3 $</li>   <li>$ x_2=\frac 52-\frac 12=2 $</li> </ul>   <h3>Erklärung</h3>   Wenn$ p $eine ungerade Zahl ist, wird$ \frac p2 $ein Bruch. Wir wandeln ihn nicht in eine Kommazahl um, sondern rechnen mit Brüchen. Das ist viel einfacher, als Kommazahlen zu quadrieren, wie wir gleich sehen:   <ul> <li>Es ist$ -\frac p2=-\frac{-5}2=\frac 52 $</li>   <li>Also ist$ \left(\frac 52\right)^2=\frac{25}4 $. Denn ein Bruch wird quadriert, indem man Zähler und Nenner einzeln quadriert. Und Vorzeichen fallen beim Quadrieren immer weg, deshalb brauchen wir kein Minuszeichen zu berücksichtigen.</li>   <li>Unter der Wurzel müssen wir nun$ \frac{25}4-6
$rechnen. Der gemeinsame Nenner ist 4, also ist <span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://www.mathe-wisch.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-894707b836222ed20e667fbd6436a638_l3.png" height="37" width="174" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[\frac{25}4-6=\frac{25}4-\frac{24}4=\frac 14\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/></li>   <li>Wurzelziehen bei Brüchen wird auch für Zähler und Nenner einzeln gemacht, also gilt:$
$\sqrt{\frac 14}=\frac{\sqrt 1}{\sqrt 4}=\frac 12$ .
Jetzt hat die Aufgabe verspielt, und es gilt $x_1=\frac 52+\frac 12=\frac 62=3$ .
Entsprecht gilt $x_2=\frac 52-\frac 12=\frac 42=2$ .